Дано:
Правильный восьмиугольник с радиусом окружности R. Вершины обозначены как A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8.
Найти:
Докажите, что если соединить вершины A1, A3, A5, A7, то получится квадрат.
Решение:
1. Определим координаты вершин правильного восьмиугольника, расположенного в координатной плоскости с центром в начале координат. Вершины будут иметь следующие координаты:
A1 = (R, 0)
A2 = (R * cos(π/4), R * sin(π/4))
A3 = (0, R)
A4 = (-R * cos(π/4), R * sin(π/4))
A5 = (-R, 0)
A6 = (-R * cos(π/4), -R * sin(π/4))
A7 = (0, -R)
A8 = (R * cos(π/4), -R * sin(π/4))
Необходимые координаты:
- A1 = (R, 0)
- A3 = (0, R)
- A5 = (-R, 0)
- A7 = (0, -R)
2. Теперь рассчитаем длины сторон и углы для отрезков A1A3, A3A5, A5A7 и A7A1.
Длина A1A3:
d(A1, A3) = √((0 - R)² + (R - 0)²) = √(R² + R²) = √(2R²) = R√2
Длина A3A5:
d(A3, A5) = √((-R - 0)² + (0 - R)²) = √(R² + R²) = √(2R²) = R√2
Длина A5A7:
d(A5, A7) = √((0 - (-R))² + (-R - 0)²) = √(R² + R²) = √(2R²) = R√2
Длина A7A1:
d(A7, A1) = √((R - 0)² + (0 - (-R))²) = √(R² + R²) = √(2R²) = R√2
3. Все четыре стороны равны и имеют длину R√2.
4. Теперь найдем углы между отрезками:
- Угол A1A3A5:
Вектор A1A3 = (0 - R, R - 0) = (-R, R)
Вектор A3A5 = (-R - 0, 0 - R) = (-R, -R)
Скалярное произведение:
(-R)(-R) + (R)(-R) = R² - R² = 0
Угол A1A3A5 равен 90°.
Аналогично можно найти углы A3A5A7, A5A7A1 и A7A1A3, которые также равны 90°.
5. Поскольку все стороны равны и все углы равны 90°, четырехугольник A1A3A5A7 является квадратом.
Ответ:
Четырехугольник, образованный соединением вершин A1, A3, A5 и A7, является квадратом.