Question

Докажите, что биссектриса AL треугольника ABC делит сторону ВС на два отрезка, которые относятся так же, как прилежащие к ним стороны треугольника, т. е. CL. : LB = СА : АВ. (Золотое свойство биссектрисы.)

Answer 1

Дано:

- Треугольник ABC.
- Биссектрисa угла A, пересекающая сторону BC в точке L.

Найти:

Докажите, что CL : LB = CA : AB (золотое свойство биссектрисы).

Решение:

1. Обозначим длины отрезков:
   - CL = x
   - LB = y
   - CA = c
   - AB = b

2. По определению биссектрисы, она делит угол на две равные части. Это значит, что угол CAB = угол DAL, где D — произвольная точка на линии AB.

3. Рассмотрим треугольники ABL и ACL. Эти треугольники имеют общий угол A и углы ABL и ACL соответственные.

4. Существует пропорциональность между сторонами треугольников, основанная на их аналогии:

   AB / AC = LB / CL.

5. Подставляя обозначенные длины, получаем:

   b / c = y / x.

6. Переписываем это уравнение в нужной форме:

   CL : LB = CA : AB, т.е. x : y = c : b.

Таким образом, мы пришли к требуемому соотношению.

Ответ:
CL : LB = CA : AB.