Дано:
Треугольник ABC, в котором точки P и Q выбраны на сторонах AB и BC соответственно.
Найти:
Доказать, что периметр треугольника ABC больше периметра четырехугольника APQC.
Решение:
1. Обозначим длины сторон треугольника следующим образом:
- AB = c
- BC = a
- AC = b
2. Периметр треугольника ABC равен:
P_ABC = AB + BC + AC = c + a + b.
3. Обозначим длины отрезков:
- AP = x (длина отрезка от A до P)
- PQ = y (длина отрезка от P до Q)
- QC = z (длина отрезка от Q до C)
Тогда имеем следующие равенства:
- PB = c - x (длина отрезка от P до B)
- AQ = b - z (длина отрезка от A до Q)
4. Периметр четырехугольника APQC равен:
P_APQC = AP + PQ + QC + CA = x + y + z + (b - z) = x + y + b.
5. Теперь мы сравниваем периметры:
P_ABC = c + a + b
P_APQC = x + y + b.
6. Для доказательства неравенства P_ABC > P_APQC нужно показать, что:
c + a + b > x + y + b.
7. Упростим данное неравенство:
c + a > x + y.
8. Поскольку точки P и Q находятся на сторонах AB и BC, то:
- x < c (так как AP является частью стороны AB),
- y < a (так как PQ находится между P и Q на стороне BC).
Таким образом, сумма x + y будет всегда меньше c + a.
9. Следовательно, мы можем записать:
c + a > x + y.
10. Это означает, что периметр треугольника ABC больше периметра четырехугольника APQC.
Ответ:
Периметр треугольника ABC больше периметра четырехугольника APQC.