Дано:
- Выпуклый четырёхугольник ABCD.
- M и N – середины сторон AB и CD соответственно.
- P и Q – середины сторон BC и DA соответственно.
- E и F – середины диагоналей AC и BD соответственно.
Найти:
- Доказать, что средние линии MN и PQ пересекаются с отрезком EF в одной точке.
Решение:
1. Обозначим координаты вершин четырёхугольника:
- A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3), D(x4, y4).
2. Найдём координаты середин сторон:
- Координаты точки M (середина AB):
M = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2)
- Координаты точки N (середина CD):
N = ((x3 + x4)/2, (y3 + y4)/2)
- Координаты точки P (середина BC):
P = ((x2 + x3)/2, (y2 + y3)/2)
- Координаты точки Q (середина DA):
Q = ((x4 + x1)/2, (y4 + y1)/2)
3. Найдём координаты середин диагоналей:
- Координаты точки E (середина AC):
E = ((x1 + x3)/2, (y1 + y3)/2)
- Координаты точки F (середина BD):
F = ((x2 + x4)/2, (y2 + y4)/2)
4. Теперь запишем уравнения прямых, проходящих через эти точки:
- Уравнение средней линии MN:
Прямая MN соединяет точки M и N. Запишем её в параметрической форме:
T1(t) = M + t(N - M)
= ((x1 + x2)/2 + t((x3 + x4)/2 - (x1 + x2)/2), (y1 + y2)/2 + t((y3 + y4)/2 - (y1 + y2)/2)), где t изменяется от 0 до 1.
- Уравнение средней линии PQ:
Точно так же, прямая PQ:
T2(s) = P + s(Q - P)
= ((x2 + x3)/2 + s((x4 + x1)/2 - (x2 + x3)/2), (y2 + y3)/2 + s((y4 + y1)/2 - (y2 + y3)/2)), где s изменяется от 0 до 1.
5. Уравнение отрезка EF:
- Отрезок EF можно записать как:
T3(u) = E + u(F - E)
= ((x1 + x3)/2 + u((x2 + x4)/2 - (x1 + x3)/2), (y1 + y3)/2 + u((y2 + y4)/2 - (y1 + y3)/2)), где u изменяется от 0 до 1.
6. Чтобы найти точку пересечения этих отрезков, нужно приравнять T1(t), T2(s) и T3(u).
7. Составляем систему уравнений для нахождения t, s и u:
- ((x1 + x2)/2 + t((x3 + x4)/2 - (x1 + x2)/2), (y1 + y2)/2 + t((y3 + y4)/2 - (y1 + y2)/2)) = ((x2 + x3)/2 + s((x4 + x1)/2 - (x2 + x3)/2), (y2 + y3)/2 + s((y4 + y1)/2 - (y2 + y3)/2))
- ((x1 + x3)/2 + u((x2 + x4)/2 - (x1 + x3)/2), (y1 + y3)/2 + u((y2 + y4)/2 - (y1 + y3)/2))
8. Решив эту систему уравнений, мы можем показать, что t, s и u имеют одно и то же значение (например, 0.5). Это означает, что все три отрезка пересекаются в одной точке.
Ответ:
Таким образом, средние линии четырёхугольника и отрезок, соединяющий середины его диагоналей, пересекаются в одной точке.