дано:
острый угол трапеции α.
найти:
отношение оснований трапеции.
решение:
1. Обозначим основания трапеции как a (меньшее основание) и b (большее основание).
2. В прямоугольной трапеции одна из боковых сторон перпендикулярна диагонали, что позволяет использовать свойства треугольников.
3. Рассмотрим треугольник, образованный острым углом α, высотой h и проекцией меньшего основания на боковую сторону.
4. По определению тангенса:
tg(α) = h / (b - a).
5. Поскольку у нас есть перпендикулярная диагональ, можем рассмотреть:
tg(90° - α) = (b - a) / h,
что можно переписать как:
ctg(α) = (b - a) / h.
6. Из формул для tg и ctg имеем следующие соотношения:
h = (b - a) * tg(α),
h = (b - a) / ctg(α).
7. Приравняем оба выражения для h:
(b - a) * tg(α) = (b - a) / ctg(α).
8. Если b - a не равно 0, делим обе части уравнения на (b - a):
tg(α) = 1 / ctg(α).
9. Известно, что tg(α) * ctg(α) = 1, значит:
tg²(α) = 1 / tg²(α).
10. Далее получаем следующее соотношение:
tg²(α) = (b - a) / a.
11. Предположим, что a = k * (b - a) , где k - некоторая константа. Получаем:
a + ka = b.
12. Выразим отношение оснований:
a/b = k/(1+k).
13. Подставляя tg(α) в выражение для k, получаем:
a/b = tg(α)/(1 + tg(α)).
ответ:
отношение оснований трапеции равно tg(α) / (1 + tg(α)).