Дано:
Катеты прямоугольного треугольника: a и b (в метрах).
Гипотенуза: c = √(a^2 + b^2).
Найти: может ли гипотенуза увеличиться более чем на √2 м.
Решение:
После увеличения катетов на 1, новые катеты будут равны a + 1 и b + 1. Новая гипотенуза c' будет равна:
c' = √((a + 1)^2 + (b + 1)^2).
Раскроем скобки:
c' = √(a^2 + 2a + 1 + b^2 + 2b + 1) = √(a^2 + b^2 + 2a + 2b + 2).
Зная, что c^2 = a^2 + b^2, подставим это значение:
c' = √(c^2 + 2a + 2b + 2).
Теперь найдем увеличение гипотенузы:
Δc = c' - c = √(c^2 + 2a + 2b + 2) - √(a^2 + b^2).
Для оценки, можем воспользоваться неравенством для разности квадратов:
Δc = (√(c^2 + 2a + 2b + 2) - c).
Подведем итог:
Если Δc > √2, то:
√(c^2 + 2a + 2b + 2) - √(c^2) > √2.
Возведем обе стороны в квадрат:
(c^2 + 2a + 2b + 2) - c^2 > 2.
Это дает нам:
2a + 2b + 2 > 2,
a + b > 0.
Это неравенство всегда выполняется для положительных a и b.
Таким образом, гипотенуза может увеличиться более чем на √2.
Ответ: да, гипотенуза может увеличиться более чем на √2.