дано:
- Гипотенуза прямоугольного треугольника c = 24 м.
- Площадь прямоугольного треугольника S = 72 м².
найти:
Острые углы треугольника.
решение:
1. Обозначим катеты треугольника как a и b. Площадь прямоугольного треугольника выражается формулой:
S = (1/2) * a * b.
Подставим известные значения:
72 = (1/2) * a * b.
Умножим обе стороны на 2:
144 = a * b. (1)
2. Согласно теореме Пифагора, для прямоугольного треугольника выполняется следующее уравнение:
c^2 = a^2 + b^2.
Подставим значение гипотенузы:
24^2 = a^2 + b^2.
То есть,
576 = a^2 + b^2. (2)
3. Теперь у нас есть система уравнений (1) и (2):
a * b = 144,
a^2 + b^2 = 576.
4. Из первого уравнения выразим b:
b = 144/a.
5. Подставим это выражение во второе уравнение:
a^2 + (144/a)^2 = 576.
6. Умножим все на a^2 для избавления от дроби:
a^4 - 576a^2 + 144^2 = 0.
a^4 - 576a^2 + 20736 = 0.
7. Обозначим x = a^2. Получаем квадратное уравнение:
x^2 - 576x + 20736 = 0.
8. Решим это уравнение по формуле дискриминанта:
D = b^2 - 4ac = (-576)^2 - 4*1*20736 = 331776 - 82944 = 248832.
9. Находим корни уравнения:
x = (576 ± sqrt(248832))/2 = (576 ± 498.83)/2.
Таким образом, получаем два значения:
x1 ≈ 538.415;
x2 ≈ 38.585.
10. Теперь найдем значения a и b:
a = sqrt(x1) и b = sqrt(x2), или наоборот.
11. Рассчитаем a и b:
a ≈ sqrt(538.415) ≈ 23.22 м,
b ≈ sqrt(38.585) ≈ 6.21 м.
12. Используем теорию тригонометрии для нахождения острых углов треугольника. Обозначим углы A и B:
tan(A) = b/a = 6.21/23.22.
Тогда угол A = arctan(6.21/23.22).
13. Рассчитаем угол A:
A ≈ 15°.
14. Найдем угол B:
B = 90° - A ≈ 90° - 15° = 75°.
ответ:
Острые углы прямоугольного треугольника равны приблизительно 15° и 75°.