дано:
Дельтоид – это четырехугольник, у которого две пары смежных сторон равны.
Найти:
а) Доказать, что одна из диагоналей дельтоида является биссектрисой углов.
б) Доказать, что диагонали дельтоида перпендикулярны.
в) Доказать, что точка пересечения диагоналей дельтоида делит одну из них пополам.
Решение:
а)
1. Обозначим дельтоид ABCD, где AB = AD и BC = CD.
2. Рассмотрим диагональ AC.
3. По свойству дельтоида, углы при основании (углы A и C) равны:
∠DAB = ∠CBA.
4. Поскольку AB = AD и углы DAB и CBA равны, то по теореме о биссектрисе, диагональ AC является биссектрисой угла BAD.
Доказано: одна из диагоналей дельтоида (AC) является биссектрисой угла.
б)
1. Рассмотрим диагонали AC и BD.
2. В дельтоиде диагонали делят углы на равные части (из предыдущего пункта).
3. Обратим внимание на треугольники ABD и CDB. У нас есть:
- AB = AD,
- BD = BC,
- Угол DAB = угол CBA (по свойству дельтоида).
4. Эти треугольники равны по признаку равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними (SAS).
5. Следовательно, угол ABD = угол CDB и они являются равными.
6. Таким образом, AC перпендикулярна BD по свойству равенства углов.
Доказано: диагонали дельтоида перпендикулярны.
в)
1. Обозначим точку пересечения диагоналей как O.
2. Из предыдущих доказательств мы знаем, что треугольники ABD и CDB равны.
3. Поскольку O — точка пересечения, она делит BD на два отрезка BO и OD.
4. Так как треугольники равны, то AO = OC.
5. Это означает, что точка O делит диагональ AC пополам.
Доказано: точка пересечения диагоналей дельтоида делит одну из них пополам.
Ответ:
а) Одна из диагоналей дельтоида является биссектрисой углов.
б) Диагонали дельтоида перпендикулярны.
в) Точка пересечения диагоналей дельтоида делит одну из них пополам.