Дано: необходимо найти все пары простых чисел p и q, разность квадратов которых является простым числом. То есть, нужно решить уравнение:
p^2 - q^2 = r,
где r - простое число.
Найти: пары простых чисел (p, q).
Решение:
Используем формулу разности квадратов:
p^2 - q^2 = (p - q)(p + q).
Так как r является простым числом, то произведение (p - q)(p + q) также должно быть простым.
Обозначим:
a = p - q,
b = p + q.
Тогда имеем:
a * b = r.
Поскольку r - простое число, возможны следующие случаи:
1. a = 1 и b = r.
2. a = r и b = 1.
Теперь найдем значения p и q из этих случаев:
Случай 1:
a = 1, b = r.
Подставляем:
p - q = 1
p + q = r.
Сложим эти два уравнения:
2p = r + 1 => p = (r + 1) / 2,
q = p - 1 = (r + 1) / 2 - 1 = (r - 1) / 2.
В этом случае p и q будут простыми числами, если (r + 1) и (r - 1) делятся на 2.
Случай 2:
a = r, b = 1.
Подставляем:
p - q = r,
p + q = 1.
Сложим эти два уравнения:
2p = r + 1 => p = (r + 1) / 2,
q = 1 - p = 1 - (r + 1) / 2 = (1 - r - 1)/2 = -r/2.
Здесь q не может быть простым числом, поскольку будет отрицательным при любых положительных r.
Теперь рассмотрим случай, когда r является простым числом.
Примеры:
Проверим несколько значений:
1. Пусть r = 3:
p = (3 + 1) / 2 = 2,
q = (3 - 1) / 2 = 1 (единица не является простым числом).
2. Пусть r = 5:
p = (5 + 1) / 2 = 3,
q = (5 - 1) / 2 = 2.
Таким образом, одна из пар (p, q) = (3, 2).
3. Рассмотрим r = 7:
p = (7 + 1) / 2 = 4,
q = (7 - 1) / 2 = 3 (четверка не простое число).
4. Пусть r = 11:
p = (11 + 1) / 2 = 6,
q = (11 - 1) / 2 = 5 (шестёрка не простое).
Таким образом, единственная пара (p, q), для которой разность квадратов является простым числом, это:
(p, q) = (3, 2) и (2, 3).
Ответ: пары простых чисел: (3, 2) и (2, 3).