дано:
- Количество рабочих в каждой области: 50
- Часы работы каждого рабочего в сутки: 10 ч
- Производительность рабочего в первой области:
- Алюминий: 0,2 кг/ч
- Никель: 0,1 кг/ч
- Вторая область требует:
- Для добычи х кг алюминия: х^2 человеко-часов труда
- Для добычи у кг никеля: у^2 человеко-часов труда
найти:
Сколько килограммов сплава сможет произвести завод ежедневно.
решение:
1. Сначала рассчитаем общее количество человеко-часов труда в каждой области:
Общее количество рабочих = 50
Часы работы каждого рабочего = 10
Общее количество человеко-часов в каждой области = 50 * 10 = 500 человеко-часов.
2. Рассчитаем возможную добычу в первой области:
Пусть x - количество часов, отведенных на добычу алюминия, а (500 - x) - часы для добычи никеля.
Добыча алюминия в первой области:
A1 = 0,2 * x (кг)
Добыча никеля в первой области:
N1 = 0,1 * (500 - x) (кг)
Общая масса металлов в первой области:
M1 = A1 + N1 = 0,2x + 0,1(500 - x) = 0,2x + 50 - 0,1x = 0,1x + 50.
3. Теперь рассмотрим вторую область:
Общее количество человеко-часов во второй области = 500
Пусть y - количество кг алюминия, тогда для его добычи требуется y^2 человеко-часов.
Оставшееся время для добычи никеля будет 500 - y^2.
Пусть z - количество кг никеля, тогда для его добычи потребуется z^2 человеко-часов.
Учитывая условия задачи, мы имеем:
y^2 + z^2 <= 500.
4. Для максимизации общей массы M2 = y + z, используем метод Лагранжа или подстановки. Из-за соотношения между алюминием и никелем в сплаве, определим, что 1 кг алюминия требует 2 кг никеля.
Следовательно, если по формуле x + 2y = Z (где Z - общий вес сплава), то из формулы видно, что для достижения максимума необходимо иметь пропорции:
Поскольку 2y = z => z = 2y, подставляем в условие:
y^2 + (2y)^2 <= 500,
y^2 + 4y^2 <= 500,
5y^2 <= 500,
y^2 <= 100,
y <= 10.
Подставляем значение y в z:
z = 2 * y => z = 20.
Таким образом, из второй области можно получить 10 кг алюминия и 20 кг никеля, что дает в общей сложности:
M2 = 10 + 20 = 30 кг.
5. Общая масса сплава будет равна:
Сплав = A1 + 2 * N1 + A2 + 2 * N2,
где A1 и N1 — это алюминий и никель из первой области соответственно, а A2 и N2 — из второй области.
6. Мы уже знаем, что:
A1 + N1 = 0,1x + 50,
A2 = 10,
N2 = 20.
7. Теперь применяем пропорцию к производству сплава:
Для первого региона:
Оптимальное значение x = 500 (весь труд направлен на никель). Тогда:
A1 = 0.2 * 0 = 0,
N1 = 0.1 * 500 = 50.
Общий сплав из первой области = 0 + 2 * 50 = 100.
8. Теперь суммируем оба результата:
Общий сплав = 100 (из первой области) + 30 (из второй области) = 130 кг.
Ответ:
Завод сможет ежедневно произвести 130 кг сплава.