дано:
- Количество рабочих в каждой области: 90
- Часы работы каждого рабочего в сутки: 5 ч
- Производительность рабочего в первой области:
- Алюминий: 0,3 кг/ч
- Никель: 0,1 кг/ч
- Вторая область требует:
- Для добычи х кг алюминия: х^2 человеко-часов труда
- Для добычи у кг никеля: у^2 человеко-часов труда
найти:
Наибольшую массу металлов, которую можно суммарно добыть в двух областях за сутки.
решение:
1. Сначала рассчитаем общее количество человеко-часов труда в каждой области:
Общее количество рабочих = 90
Часы работы каждого рабочего = 5
Общее количество человеко-часов в каждой области = 90 * 5 = 450 человеко-часов.
2. Рассчитаем добычу в первой области:
Пусть x - количество часов, отведенных на добычу алюминия, а (450 - x) - часы для добычи никеля.
Добыча алюминия в первой области:
A1 = 0,3 * x (кг)
Добыча никеля в первой области:
N1 = 0,1 * (450 - x) (кг)
Общая масса металлов в первой области:
M1 = A1 + N1 = 0,3x + 0,1(450 - x) = 0,3x + 45 - 0,1x = 0,2x + 45
3. Определим полную массу металлов, добытых во второй области:
Общее количество человеко-часов во второй области = 450
Пусть y - количество кг алюминия, тогда для его добычи требуется y^2 человеко-часов.
Оставшееся время для добычи никеля будет 450 - y^2.
Пусть z - количество кг никеля, тогда для его добычи потребуется z^2 человеко-часов.
Учитывая условия задачи, мы имеем:
y^2 + z^2 <= 450
4. Для максимизации общей массы M2 = y + z, используем метод Лагранжа или подстановки. Но так как суммы квадратов имеют одинаковый вес, мы можем принять равенство для упрощения:
y = z = k
Тогда:
2k^2 = 450 => k^2 = 225 => k = 15.
Таким образом, вторая область даст:
A2 = 15 кг алюминия и N2 = 15 кг никеля.
Общая масса в второй области:
M2 = A2 + N2 = 15 + 15 = 30 кг.
5. Теперь найдем максимальную массу металлов, добытых в обеих областях:
Для первой области:
Чтобы максимизировать M1, нам нужно решить уравнение 0,2x + 45.
Поскольку x может принимать значения от 0 до 450, максимальная масса в первой области будет при x = 450:
M1(max) = 0,2 * 450 + 45 = 90 + 45 = 135 кг.
6. Общая масса всех металлов:
M_total = M1(max) + M2 = 135 + 30 = 165 кг.
Ответ:
Наибольшая масса металлов, которую можно за сутки суммарно добыть в двух областях, составляет 165 кг.