Question

Предприятие непрерывного цикла занимается испытанием готовых изделий двух типов. Ежемесячно предприятие получает для испытаний не более 300 изделий первого типа и не более 900 изделий второго типа. Качество каждого изделия проверяется на двух стендах А и Б (стенды могут использоваться для испытания каждого изделия в любой последовательности). Для проверки одного изделия первого типа требуется 30 мин испытаний на стенде А и 8 мин испытаний на стенде Б; для проверки одного изделия второго типа требуется 10 мин испытаний на стенде А и 4 мин испытаний на стенде Б. По техническим причинам стенд А может работать не более 270 ч в месяц, а стенд Б — не более 90 ч в месяц. Проверка одного изделия первого типа приносит предприятию 140 д. е. прибыли, а проверка одного изделия второго типа — 80 д. е. прибыли. Найдите наибольшую возможную ежемесячную прибыль предприятия и определите, сколько изделий первого типа и сколько изделий второго типа следует ежемесячно проверять для получения этой прибыли,

Answer 1

дано:

- Ограничения по количеству изделий:
  - Максимум 300 изделий первого типа
  - Максимум 900 изделий второго типа

- Время испытаний:
  - Для изделия первого типа:
    - Стенд А: 30 мин
    - Стенд Б: 8 мин
  - Для изделия второго типа:
    - Стенд А: 10 мин
    - Стенд Б: 4 мин

- Временные ограничения:
  - Стенд А: максимум 270 ч в месяц = 16200 мин (270 ч * 60 мин)
  - Стенд Б: максимум 90 ч в месяц = 5400 мин (90 ч * 60 мин)

- Прибыль:
  - Проверка одного изделия первого типа = 140 д. е.
  - Проверка одного изделия второго типа = 80 д. е.

найти: наибольшую возможную ежемесячную прибыль и количество изделий первого и второго типов для её получения.

решение:

1. Обозначим:
   x - количество изделий первого типа
   y - количество изделий второго типа

2. Целевая функция (прибыль):
   Z = 140x + 80y

3. Ограничения:
   1) По количеству изделий:
      x <= 300
      y <= 900

   2) По стенду А:
      30x + 10y <= 16200
   
   3) По стенду Б:
      8x + 4y <= 5400

4. Перепишем ограничения в более удобной форме:
   1) x <= 300
   2) y <= 900
   3) 30x + 10y <= 16200 => 3x + y <= 1620 (делим всё на 10)
   4) 8x + 4y <= 5400 => 2x + y <= 1350 (делим всё на 4)

5. Определим область допустимых решений, решив систему неравенств.
   Построим график для ограничений:
   - Линия 1: y = 1620 - 3x
   - Линия 2: y = 1350 - 2x

   Найдём точки пересечения границ:
   - Пересечение 3x + y = 1620 и 2x + y = 1350:
     3x + (1350 - 2x) = 1620
     x = 270, y = 1350 - 2*270 = 810
     Точка (270, 810)

   - Пересечение 3x + y = 1620 и y = 900:
     3x + 900 = 1620
     x = 240, y = 900
     Точка (240, 900)

   - Пересечение 2x + y = 1350 и y = 900:
     2x + 900 = 1350
     x = 225, y = 900
     Точка (225, 900)

   - Пересечение 2x + y = 1350 и x = 300:
     2*300 + y = 1350
     y = 1350 - 600 = 750
     Точка (300, 750)

6. Теперь найдем значение целевой функции Z в этих точках:
   - В точке (270, 810): Z = 140*270 + 80*810 = 37800 + 64800 = 102600 д. е.
   - В точке (240, 900): Z = 140*240 + 80*900 = 33600 + 72000 = 105600 д. е.
   - В точке (225, 900): Z = 140*225 + 80*900 = 31500 + 72000 = 103500 д. е.
   - В точке (300, 750): Z = 140*300 + 80*750 = 42000 + 60000 = 102000 д. е.

7. Наибольшая прибыль:
   Максимальная прибыль = 105600 д. е. в точке (240, 900).

Ответ: максимальная прибыль 105600 д. е., необходимо проверять 240 изделий первого типа и 900 изделий второго типа.