Дано:
- Случайная величина X равна количеству испытаний до первого успеха.
- Вероятность успеха в каждом отдельном испытании p.
Найти:
а) Геометрическое распределение при p = 0,3;
б) Геометрическое распределение при p = 0,8.
Решение:
Геометрическое распределение описывается формулой для вероятности того, что первый успех произойдёт на n-ом испытании:
P(X = n) = q^(n-1) * p,
где q = 1 - p — вероятность неудачи.
а) Для p = 0,3:
q = 1 - p = 1 - 0,3 = 0,7.
Геометрическое распределение будет выглядеть следующим образом:
P(X = n) = (0,7)^(n-1) * (0,3).
Запишем несколько значений P(X = n):
- P(X = 1) = (0,7)^(1-1) * (0,3) = (0,7)^0 * (0,3) = 1 * 0,3 = 0,3.
- P(X = 2) = (0,7)^(2-1) * (0,3) = (0,7)^1 * (0,3) = 0,7 * 0,3 = 0,21.
- P(X = 3) = (0,7)^(3-1) * (0,3) = (0,7)^2 * (0,3) = 0,49 * 0,3 = 0,147.
- P(X = 4) = (0,7)^(4-1) * (0,3) = (0,7)^3 * (0,3) = 0,343 * 0,3 = 0,1029.
- P(X = 5) = (0,7)^(5-1) * (0,3) = (0,7)^4 * (0,3) = 0,2401 * 0,3 = 0,07203.
б) Для p = 0,8:
q = 1 - p = 1 - 0,8 = 0,2.
Геометрическое распределение будет выглядеть следующим образом:
P(X = n) = (0,2)^(n-1) * (0,8).
Запишем несколько значений P(X = n):
- P(X = 1) = (0,2)^(1-1) * (0,8) = (0,2)^0 * (0,8) = 1 * 0,8 = 0,8.
- P(X = 2) = (0,2)^(2-1) * (0,8) = (0,2)^1 * (0,8) = 0,2 * 0,8 = 0,16.
- P(X = 3) = (0,2)^(3-1) * (0,8) = (0,2)^2 * (0,8) = 0,04 * 0,8 = 0,032.
- P(X = 4) = (0,2)^(4-1) * (0,8) = (0,2)^3 * (0,8) = 0,008 * 0,8 = 0,0064.
- P(X = 5) = (0,2)^(5-1) * (0,8) = (0,2)^4 * (0,8) = 0,0016 * 0,8 = 0,00128.
Ответ:
а) Геометрическое распределение для p = 0,3: P(X = n) = (0,7)^(n-1) * (0,3).
б) Геометрическое распределение для p = 0,8: P(X = n) = (0,2)^(n-1) * (0,8).