Дано:
- Два крестьянина имеют оставшиеся деньги меньше одного рубля (то есть в интервале от 0 до 1 рубля).
- Первый крестьянин предлагает второму сыграть: если второй наскребет в два раза больше денег, чем первый, он получит деньги первого; в противном случае первый получит деньги второго.
Найти:
Вероятность того, что первый выиграет.
Решение:
1. Обозначим количество денег первого крестьянина как X и второго крестьянина как Y. Оба значения принадлежат интервалу [0, 1].
2. Крестьяне ищут монеты в своих карманах, при этом каждая из них может находиться в диапазоне от 0 до 1.
3. Условия выигрыша для первого крестьянина:
- Первый выиграет, если Y < 2X. То есть, он выиграет, когда количество денег у второго меньше двойного количества денег у первого.
4. Теперь рассмотрим область возможных значений (X, Y) на плоскости, где X по оси абсцисс, а Y по оси ординат. Это квадрат со сторонами 1 (площадь равна 1).
5. Условие Y < 2X задает прямую, которая проходит через начало координат (0, 0) и точку (0.5, 1). Эта прямая отделяет область, где первый крестьянин выигрывает, от области, где он проигрывает.
6. Для вычисления площади, где первый крестьянин выигрывает, необходимо определить треугольник, ограниченный осями координат и прямой Y = 2X. Этот треугольник имеет вершины в точках (0, 0), (0.5, 1) и (0, 1).
7. Площадь этого треугольника можно найти по формуле для площади треугольника:
S = (1/2) * основание * высота.
8. Основание треугольника (по оси X) составляет 0.5, а высота (по оси Y) составляет 1.
9. Таким образом, площадь S будет равна:
S = (1/2) * 0.5 * 1 = 0.25.
10. Общая площадь квадрата равна 1, следовательно, вероятность P того, что первый крестьянин выиграет, рассчитывается как:
P = S / общая площадь = 0.25 / 1 = 0.25.
Ответ:
Вероятность того, что первый крестьянин выиграет, равна 0.25 или 25%.