Дано:
- Два непересекающихся круга, диаметром 4 см каждый.
- Стороны прямоугольника: 6 см и 20 см.
Найти:
а) Вероятность того, что случайно выбранная точка прямоугольника принадлежит ровно одному из этих кругов.
б) Вероятность того, что случайно выбранная точка прямоугольника не принадлежит ни одному из кругов.
Решение:
1. Найдем радиус кругов:
Радиус R = Диаметр / 2 = 4 см / 2 = 2 см.
2. Найдем площадь одного круга:
Площадь S_круга = π * R^2 = π * (2 см)^2 = 4π см².
3. Найдем общую площадь двух кругов:
Площадь S_двух_кругов = 2 * S_круга = 2 * 4π см² = 8π см².
4. Найдем площадь прямоугольника:
Площадь S_прямоугольника = ширина * высота = 6 см * 20 см = 120 см².
Часть а:
Для события: случайно выбранная точка принадлежит ровно одному из кругов.
Площадь области, которая принадлежит только одному кругу, равна:
S_одного_круга = S_круга - S_пересечения,
где S_пересечения = 0, так как круги не пересекаются.
Таким образом, площадь области, которая принадлежит ровно одному кругу:
S_одного_круга = 4π см².
Общая площадь, которая принадлежит ровно одному из кругов:
S_принадлежит_одному = S_одного_круга + S_одного_круга = 4π см² + 4π см² = 8π см².
Вероятность P(a):
P(a) = (S_принадлежит_одному) / (S_прямоугольника) = (8π см²) / (120 см²).
Приблизительно π ≈ 3.14, тогда
P(a) ≈ (8 * 3.14) / 120 ≈ 25.12 / 120 ≈ 0.2093.
Часть б:
Для события: случайно выбранная точка не принадлежит ни одному из кругов.
Площадь области, которая не принадлежит кругам:
S_непринадлежащая = S_прямоугольника - S_двух_кругов.
Подставляем значения:
S_непринадлежащая = 120 см² - 8π см².
Вероятность P(b):
P(b) = (S_непринадлежащая) / (S_прямоугольника) = (120 см² - 8π см²) / (120 см²).
Приблизительно:
P(b) = (120 - 8 * 3.14) / 120 ≈ (120 - 25.12) / 120 ≈ 94.88 / 120 ≈ 0.7907.
Ответ:
а) Вероятность P(a) ≈ 0.2093.
б) Вероятность P(b) ≈ 0.7907.