Дано:
а) Бросают п раз симметричную монету.
- Вероятность выпадения орла (q) = 0,5
- Вероятность выпадения решки (p) = 0,5
б) Бросают п раз несимметричную монету, где орёл выпадает с вероятностью p ≠ 0,5.
- Вероятность выпадения орла = р
- Вероятность выпадения решки = 1 - р
Найти:
- Вероятность того, что орёл выпадет чётное число раз в обоих экспериментах.
Решение:
а) Для симметричной монеты (n раз):
Количество способов, как может выпасть k орлов при n бросках, описывается биномиальным распределением:
P(K = k) = (n! / (k! * (n - k)!)) * (0,5)^k * (0,5)^(n - k)
где K - количество орлов, k - число орлов (k = 0, 1, 2, ..., n).
Чтобы найти вероятность выпадения орла четное количество раз, нужно суммировать вероятности для всех четных k:
P(K четное) = P(K = 0) + P(K = 2) + P(K = 4) + ... (до n, если n четное).
Используем свойство, что сумма вероятностей в биномиальном распределении равна 1:
P(K четное) = 1/2 (1 + (1 - 1) ^ n) = 1/2 (1 + 0) = 1/2
Таким образом, вероятность того, что орёл выпадет чётное число раз при броске симметричной монеты равна 1/2.
б) Для несимметричной монеты:
Здесь мы также воспользуемся биномиальным распределением, но с другой вероятностью:
P(K = k) = (n! / (k! * (n - k)!)) * p^k * (1 - p)^(n - k)
Суммируем вероятности для четных k:
P(K четное) = P(K = 0) + P(K = 2) + P(K = 4) + ...
Для несимметричной монеты существует формула, которая позволяет быстро вычислить эту вероятность:
P(K четное) = 1/2 [1 + (1 - 2p)^n]
Это основано на том, что можно рассмотреть два независимых процесса: один процесс для орлов и другой для решек.
Ответ:
а) Вероятность того, что орёл выпадет чётное число раз в эксперименте с симметричной монетой равна 1/2.
б) Вероятность того, что орёл выпадет чётное число раз в эксперименте с несимметричной монетой равна 1/2 [1 + (1 - 2p)^n].