Дано:
Бросаем симметричную монету 9 раз. Вероятность выпадения орла или решки равна 0.5.
а) Найти вероятность события «количество выпавших орлов кратно числу 3».
Найдем количество способов, которыми можно получить различные количества орлов.
Количество орлов может принимать значения 0, 1, 2, ..., 9. Из них значения, кратные 3: 0, 3, 6, 9.
Вероятность получения k орлов в n бросках рассчитывается по формуле:
P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n - k),
где:
C(n, k) - биномиальный коэффициент (число сочетаний),
p - вероятность успеха (в данном случае 0.5).
Теперь рассчитаем вероятности для k = 0, 3, 6, 9:
1. P(X = 0):
C(9, 0) * (0.5)^0 * (0.5)^9 = 1 * 1 * 1/512 = 1/512.
2. P(X = 3):
C(9, 3) * (0.5)^3 * (0.5)^6 = 84 * 1/8 * 1/64 = 84/512.
3. P(X = 6):
C(9, 6) * (0.5)^6 * (0.5)^3 = 84 * 1/64 * 1/8 = 84/512.
4. P(X = 9):
C(9, 9) * (0.5)^9 * (0.5)^0 = 1 * 1/512 * 1 = 1/512.
Теперь найдем общую вероятность:
P(X mod 3 = 0) = P(X = 0) + P(X = 3) + P(X = 6) + P(X = 9)
= 1/512 + 84/512 + 84/512 + 1/512
= 170/512
= 85/256.
Ответ: 85/256.
б) Найти вероятность события «количество выпавших орлов не делится на 4».
Значения, которые не делятся на 4: 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9.
Сначала найдем вероятность для значений, которые делятся на 4: 0, 4, 8.
1. P(X = 0):
C(9, 0) * (0.5)^0 * (0.5)^9 = 1/512.
2. P(X = 4):
C(9, 4) * (0.5)^4 * (0.5)^5 = 126/512.
3. P(X = 8):
C(9, 8) * (0.5)^8 * (0.5)^1 = 9/512.
Теперь найдем общую вероятность для значений, делящихся на 4:
P(X mod 4 = 0) = P(X = 0) + P(X = 4) + P(X = 8)
= 1/512 + 126/512 + 9/512
= 136/512
= 17/64.
Теперь вычтем эту вероятность из 1, чтобы найти вероятность, что количество орлов не делится на 4:
P(not X mod 4 = 0) = 1 - P(X mod 4 = 0)
= 1 - 17/64
= 64/64 - 17/64
= 47/64.
Ответ: 47/64.