дано:
количество бросков n = 5,
вероятность успешного исхода для события (выпало число, кратное 3) p = 2/6 = 1/3 (числа 3 и 6 являются кратными 3),
вероятность неудачи q = 1 - p = 2/3.
найти:
а) вероятность события «выпало ровно три числа, кратные 3»;
б) вероятность события «выпало хотя бы три чётных числа».
решение:
Вероятность того, что в n испытаниях будет ровно k успехов, рассчитывается по формуле:
P(X = k) = C(n, k) * p^k * q^(n - k),
где C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!).
1. Для пункта а) найдем P(X = 3):
- Вычислим C(5, 3):
C(5, 3) = 5! / (3! * 2!) = 10.
Теперь воспользуемся формулой:
P(X = 3) = C(5, 3) * (1/3)^3 * (2/3)^(5 - 3)
= 10 * (1/3)^3 * (2/3)^2
= 10 * (1/27) * (4/9)
= 10 * (4/243)
= 40/243.
2. Для пункта б) найдем вероятность «выпало хотя бы три чётных числа»:
Чётные числа на игральной кости: 2, 4, 6 (всего 3 из 6).
Вероятность успешного исхода (выпало четное число) p = 3/6 = 1/2,
вероятность неудачи (выпало нечётное число) q = 1 - p = 1/2.
Находим P(X ≥ 3) с использованием формулы полной вероятности:
P(X ≥ 3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5).
Вычислим каждую часть:
- Для P(X = 3):
C(5, 3) = 10,
P(X = 3) = C(5, 3) * (1/2)^3 * (1/2)^(5 - 3)
= 10 * (1/8) * (1/4)
= 10 * (1/32)
= 10/32 = 5/16.
- Для P(X = 4):
C(5, 4) = 5,
P(X = 4) = C(5, 4) * (1/2)^4 * (1/2)^(5 - 4)
= 5 * (1/16) * (1/2)
= 5/32.
- Для P(X = 5):
C(5, 5) = 1,
P(X = 5) = C(5, 5) * (1/2)^5 * (1/2)^(5 - 5)
= 1 * (1/32) * 1
= 1/32.
Теперь сложим вероятности:
P(X ≥ 3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)
= 5/16 + 5/32 + 1/32.
Приведем к общему знаменателю (32):
= 10/32 + 5/32 + 1/32
= 16/32 = 1/2.
ответ:
а) вероятность события «выпало ровно три числа, кратные 3» составляет 40/243;
б) вероятность события «выпало хотя бы три чётных числа» составляет 1/2.