дано:
вероятность попадания при каждом выстреле p = 0.4,
соответственно, вероятность промаха q = 1 - p = 0.6.
найти:
а) наименьшее число снарядов n, чтобы вероятность поражения цели была не ниже 0.9;
б) наименьшее число снарядов n, чтобы вероятность поражения цели была не ниже 0.99.
решение:
Вероятность того, что система не попадет в цель за n выстрелов, равна q^n.
Следовательно, вероятность того, что будет хотя бы одно попадание, равна 1 - q^n.
Мы хотим, чтобы эта вероятность была больше или равна заданному значению (например, 0.9 или 0.99).
Таким образом, для пункта а) необходимо решить неравенство:
1 - q^n ≥ 0.9,
что эквивалентно:
q^n ≤ 0.1.
Для этого подставим величину q:
(0.6)^n ≤ 0.1.
Теперь найдем наименьшее целое n, удовлетворяющее этому неравенству.
Взяв логарифмы, получаем:
n * log(0.6) ≤ log(0.1).
Так как log(0.6) < 0, неравенство изменится на противоположное:
n ≥ log(0.1) / log(0.6).
Теперь вычислим это значение:
log(0.1) ≈ -1,
log(0.6) ≈ -0.2218.
Тогда:
n ≥ -1 / -0.2218 ≈ 4.51.
Таким образом, наименьшее целое n будет равно 5.
Теперь рассмотрим пункт б):
1 - q^n ≥ 0.99,
что эквивалентно:
q^n ≤ 0.01.
Так же, как и ранее:
(0.6)^n ≤ 0.01.
Снова применяем логарифмы:
n * log(0.6) ≤ log(0.01),
и опять меняем знак неравенства:
n ≥ log(0.01) / log(0.6).
Вычислим это значение:
log(0.01) ≈ -2,
log(0.6) ≈ -0.2218.
Тогда:
n ≥ -2 / -0.2218 ≈ 9.02.
Наименьшее целое n здесь будет равно 10.
ответ:
а) наименьшее число снарядов для вероятности поражения не ниже 0.9 составляет 5;
б) наименьшее число снарядов для вероятности поражения не ниже 0.99 составляет 10.