Дано:
Количество бросков монеты n = 9.
Вероятность успеха (выпадение орла) p = 0,5.
Вероятность неудачи (выпадение решки) q = 1 - p = 0,5.
Найти: вероятность события:
а) «выпало 3 орла»;
б) «выпало 5 орлов».
Решение:
Для нахождения вероятности k успехов в n испытаниях используется формула биномиального распределения:
P(X = k) = C(n, k) * p^k * q^(n-k),
где C(n, k) — количество сочетаний из n по k, рассчитываемое как:
C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!).
а) Для k = 3 орла:
C(9, 3) = 9! / (3! * (9 - 3)!)
= 9! / (3! * 6!)
= (9 * 8 * 7) / (3 * 2 * 1)
= 84.
Теперь вычислим вероятность:
P(X = 3) = C(9, 3) * (0,5)^3 * (0,5)^(9-3)
= 84 * (0,5)^3 * (0,5)^6
= 84 * (0,5)^9
= 84 * (1 / 512)
= 84 / 512
= 0,1640625.
б) Для k = 5 орлов:
C(9, 5) = 9! / (5! * (9 - 5)!)
= 9! / (5! * 4!)
= (9 * 8 * 7 * 6) / (4 * 3 * 2 * 1)
= 126.
Теперь вычислим вероятность:
P(X = 5) = C(9, 5) * (0,5)^5 * (0,5)^(9-5)
= 126 * (0,5)^5 * (0,5)^4
= 126 * (0,5)^9
= 126 * (1 / 512)
= 126 / 512
= 0,24609375.
Ответ:
а) Вероятность того, что выпало 3 орла, равна 0,1640625.
б) Вероятность того, что выпало 5 орлов, равна 0,24609375.