Дано:
Симметричная монета, которая бросается 5 раз. Вероятность выпадения орла (О) равна 1/2, а вероятность выпадения решки (Р) также равна 1/2.
Найти:
а) Прав ли Сергей, утверждая, что выпадение последовательности из пяти орлов ООООО менее вероятно, чем выпадение беспорядочной последовательности ОРРОР?
б) Прав ли Пётр, утверждая, что выпадение последовательности из пяти орлов ООООО менее вероятно, чем выпадение последовательности, в которой два орла и три решки?
Решение:
а) Вероятность того, что выпадет последовательность из пяти орлов ООООО рассчитываем следующим образом:
P(ООООО) = (1/2)^5 = 1/32.
Теперь найдем вероятность выпадения беспорядочной последовательности ОРРОР. Сначала посчитаем количество благоприятных исходов для этой последовательности.
Число способов получить 3 Р и 2 О можно вычислить по формуле сочетаний:
C(5, 3) = 5! / (3! * 2!) = 10.
Теперь вероятность выпадения этой беспорядочной последовательности:
P(ОРРОР) = C(5, 3) * (1/2)^5 = 10 * (1/32) = 10/32 = 5/16.
Теперь сравним вероятности:
1/32 (для ООООО) и 5/16 (для ОРРОР).
Так как 5/16 > 1/32, то Сергей не прав.
б) Аналогично, вероятность получения последовательности из пяти орлов ООООО равна:
P(ООООО) = (1/2)^5 = 1/32.
Теперь находим вероятность выпадения последовательности, в которой два орла и три решки. Количество способов получить 2 О и 3 Р равно:
C(5, 2) = 5! / (2! * 3!) = 10.
Вероятность такой последовательности:
P(2O и 3R) = C(5, 2) * (1/2)^5 = 10 * (1/32) = 10/32 = 5/16.
Теперь сравним вероятности:
1/32 (для ООООО) и 5/16 (для 2 О и 3 Р).
Так как 5/16 > 1/32, то Пётр тоже не прав.
Ответ:
а) Сергей не прав.
б) Пётр не прав.