дано:
События A и B. Из условия следует, что P(A|B) > P(A), то есть событие B увеличивает вероятность события A.
найти:
Докажем, что в этом случае событие A увеличивает вероятность события B, то есть P(B|A) > P(B).
решение:
Сначала запишем определение условной вероятности для событий A и B:
P(A|B) = P(A и B) / P(B), если P(B) > 0.
Из условия задачи известно, что P(A|B) > P(A). Это значит, что:
P(A и B) / P(B) > P(A).
Умножим обе стороны на P(B):
P(A и B) > P(A) * P(B). (1)
Теперь рассмотрим выражение для P(B|A):
P(B|A) = P(A и B) / P(A), если P(A) > 0.
Если мы подставим неравенство (1) в это выражение, то получим:
P(B|A) = P(A и B) / P(A) > (P(A) * P(B)) / P(A).
Так как P(A) > 0, можем сократить:
P(B|A) > P(B).
Это означает, что если наступление события B увеличивает вероятность события A, то наступление события A также увеличивает вероятность события B.
ответ:
Таким образом, показано, что если P(A|B) > P(A), то P(B|A) > P(B).