В одном пакетике два пирожка с капустой, в другом — два с вишней, в третьем — один с капустой и один с вишней. Выглядят и весят пирожки одинаково, так что неизвестно, какой пирожок с чем. Внуку в школу нужно дать один пирожок. Бабушка хочет дать пирожок с вишней, но она сама забыла, как раскладывала пирожки, и определить начинку может, только надломив пирожок. Надломленный пирожок внук не хочет, он хочет целый.
а)   Покажите, что бабушка может действовать так, что вероятность дать внуку целый пирожок с вишней будет равна 2/3.
б)  Существует ли стратегия, при которой вероятность дать внуку целый пирожок с вишней выше, чем 2/3 Если да, найдите эту стратегию. Если нет, докажите её отсутствие.
от

1 Ответ

Дано:

Есть три пакетика с пирожками:
1. Пакетик 1: 2 пирожка с капустой.
2. Пакетик 2: 2 пирожка с вишней.
3. Пакетик 3: 1 пирожок с капустой и 1 пирожок с вишней.

Найти:

Вероятность того, что бабушка сможет дать внуку целый пирожок с вишней.

Решение:

1. Обозначим события:
   - A: Внук получает целый пирожок с вишней.
   - B1: Бабушка выбирает пакетик 1 (КК).
   - B2: Бабушка выбирает пакетик 2 (ВВ).
   - B3: Бабушка выбирает пакетик 3 (КВ).

2. Вероятности выбора пакетиков равны, так как они неотличимы:
   P(B1) = P(B2) = P(B3) = 1/3.

3. Теперь найдем вероятность того, что внук получит целый пирожок с вишней из каждого пакетика:
   - Из пакетика 1 (КК): 0 пирожков с вишней. P(A | B1) = 0.
   - Из пакетика 2 (ВВ): 2 пирожка с вишней. P(A | B2) = 1.
   - Из пакетика 3 (КВ): 1 пирожок с вишней. P(A | B3) = 1/2.

4. Используем формулу полной вероятности для нахождения P(A):
   P(A) = P(A | B1) * P(B1) + P(A | B2) * P(B2) + P(A | B3) * P(B3)
   P(A) = 0 * (1/3) + 1 * (1/3) + (1/2) * (1/3)
   P(A) = 0 + (1/3) + (1/6)
   P(A) = 1/3 + 1/6 = 2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2.

5. Теперь рассчитаем вероятность того, что бабушка даст внуку целый пирожок с вишней:
   P(A) = 1/2 (это вероятность, что бабушка даст пирожок с вишней, но не целый).

Для достижения вероятности 2/3, бабушка должна выбрать пакетик 2 (ВВ) или пакетик 3 (КВ) и не брать пакетик 1 (КК).

6. Бабушка может действовать следующим образом:
   - Если бабушка выбирает пакетик 2, то вероятность дать целый пирожок с вишней составляет 1.
   - Если бабушка выбирает пакетик 3, то вероятность дать целый пирожок с вишней составляет 1/2.

7. Теперь найдем общую вероятность, учитывая только выбор пакетиков 2 и 3:
   P(B2) = 1/3, P(B3) = 1/3.
   P(A | B2 или B3) = (1 * (1/3) + (1/2) * (1/3)) / (1/3 + 1/3) = (1/3 + 1/6) / (2/3) = (2/6 + 1/6) / (2/3) = 3/6 / (2/3) = 3/6 * (3/2) = 3/4.

Ответ на часть а: Бабушка может дать внуку целый пирожок с вишней с вероятностью 2/3, если выбирает пакетики 2 и 3.
Ответ на часть б: Стратегия, при которой вероятность дать внуку целый пирожок с вишней выше, чем 2/3, не существует, так как наилучшая вероятность в данной ситуации равна 2/3.
от