Дано:
Есть три пакетика с пирожками:
1. Пакетик 1: 2 пирожка с капустой.
2. Пакетик 2: 2 пирожка с вишней.
3. Пакетик 3: 1 пирожок с капустой и 1 пирожок с вишней.
Найти:
Вероятность того, что бабушка сможет дать внуку целый пирожок с вишней.
Решение:
1. Обозначим события:
- A: Внук получает целый пирожок с вишней.
- B1: Бабушка выбирает пакетик 1 (КК).
- B2: Бабушка выбирает пакетик 2 (ВВ).
- B3: Бабушка выбирает пакетик 3 (КВ).
2. Вероятности выбора пакетиков равны, так как они неотличимы:
P(B1) = P(B2) = P(B3) = 1/3.
3. Теперь найдем вероятность того, что внук получит целый пирожок с вишней из каждого пакетика:
- Из пакетика 1 (КК): 0 пирожков с вишней. P(A | B1) = 0.
- Из пакетика 2 (ВВ): 2 пирожка с вишней. P(A | B2) = 1.
- Из пакетика 3 (КВ): 1 пирожок с вишней. P(A | B3) = 1/2.
4. Используем формулу полной вероятности для нахождения P(A):
P(A) = P(A | B1) * P(B1) + P(A | B2) * P(B2) + P(A | B3) * P(B3)
P(A) = 0 * (1/3) + 1 * (1/3) + (1/2) * (1/3)
P(A) = 0 + (1/3) + (1/6)
P(A) = 1/3 + 1/6 = 2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2.
5. Теперь рассчитаем вероятность того, что бабушка даст внуку целый пирожок с вишней:
P(A) = 1/2 (это вероятность, что бабушка даст пирожок с вишней, но не целый).
Для достижения вероятности 2/3, бабушка должна выбрать пакетик 2 (ВВ) или пакетик 3 (КВ) и не брать пакетик 1 (КК).
6. Бабушка может действовать следующим образом:
- Если бабушка выбирает пакетик 2, то вероятность дать целый пирожок с вишней составляет 1.
- Если бабушка выбирает пакетик 3, то вероятность дать целый пирожок с вишней составляет 1/2.
7. Теперь найдем общую вероятность, учитывая только выбор пакетиков 2 и 3:
P(B2) = 1/3, P(B3) = 1/3.
P(A | B2 или B3) = (1 * (1/3) + (1/2) * (1/3)) / (1/3 + 1/3) = (1/3 + 1/6) / (2/3) = (2/6 + 1/6) / (2/3) = 3/6 / (2/3) = 3/6 * (3/2) = 3/4.
Ответ на часть а: Бабушка может дать внуку целый пирожок с вишней с вероятностью 2/3, если выбирает пакетики 2 и 3.
Ответ на часть б: Стратегия, при которой вероятность дать внуку целый пирожок с вишней выше, чем 2/3, не существует, так как наилучшая вероятность в данной ситуации равна 2/3.