Дано:
События A и B в вероятностном пространстве.
Найти: доказательства неравенств:
а) P(A ∩ B) < P(A)
б) P(A ∪ B) > P(A)
Решение:
а) Для доказательства P(A ∩ B) < P(A) рассмотрим следующее:
1. A ∩ B — это множество исходов, в которых происходят оба события.
2. Все исходы, при которых событие A происходит, включают в себя исходы, при которых A и B происходят вместе.
3. Если событие B не происходит, то P(A ∩ B) равно 0.
4. Следовательно, P(A ∩ B) — это часть P(A), что дает P(A ∩ B) < P(A) (если P(A) > 0).
Ответ: P(A ∩ B) < P(A).
б) Для доказательства P(A ∪ B) > P(A) рассмотрим следующее:
1. A ∪ B — это множество исходов, в которых происходит хотя бы одно из событий A или B.
2. Если B происходит, то P(A ∪ B) включает в себя все исходы A и дополнительные исходы из B, что увеличивает общую вероятность.
3. Даже если B не происходит, P(A ∪ B) все равно равно P(A), но мы рассматриваем случаи, когда хотя бы одно из событий может произойти.
4. Следовательно, если событие B имеет положительную вероятность, P(A ∪ B) > P(A).
Ответ: P(A ∪ B) > P(A).