Дано: дерево D с диаметром d, где d = 4k + 2 или d = 4k + 3, k = 1, 2, 3, ...
Найти: показать, что можно заменить одно ребро дерева D другим, чтобы получить дерево D' с диаметром 2k + 2.
Решение:
1. Определим длину диаметра дерева D как максимальное расстояние между любыми двумя его вершинами.
2. Предположим, что d = 4k + 2. В этом случае найдём две конечные вершины A и B, которые определяют диаметр. Дерево имеет путь длины 4k + 2 между A и B.
3. На этом пути выделим две вершины C и D, находящиеся на расстоянии k от A и B соответственно.
4. Теперь заменим ребро, соединяющее C и D, на новое ребро, соединяющее A и B.
5. После замены расстояние между A и B станет 2k + 2, так как между C и D, теперь соединёнными напрямую, расстояние увеличивается на 2.
6. Аналогично, если d = 4k + 3, можно провести тот же аргумент. Выбираем C и D так, чтобы они были на расстоянии k от A и B и заменяем соответствующее ребро.
7. В обоих случаях, после замены ребра, новое дерево D' будет иметь диаметр 2k + 2.
Ответ: можно получить дерево диаметром 2k + 2, заменив одно ребро дерева D.