Дано: три различные вершины A, B и C в дереве.
Найти: доказать, что три цепи: цепь из A в B, цепь из B в C и цепь из A в C имеют единственную общую вершину.
Решение:
1. В дереве существует единственный путь между любыми двумя вершинами, так как дерево является связным и ацикличным графом.
2. Рассмотрим цепь из A в B. Пусть P(A, B) - путь из A в B. Этот путь включает в себя несколько вершин.
3. Аналогично, цепь из B в C обозначим как P(B, C) и цепь из A в C как P(A, C).
4. Обозначим точку пересечения P(A, B) и P(A, C) как V1 и точку пересечения P(B, C) и P(A, C) как V2.
5. Из свойств деревьев следует, что V1 и V2 должны совпадать в единственной общей вершине, потому что любая общая вершина между двумя путями должна быть общей для всех трех.
Ответ: три цепи имеют единственную общую вершину, так как в дереве существует уникальный путь между любыми двумя вершинами.