Дано:
Определение дерева: связный ациклический граф.
Найти:
Доказать, что любое дерево является двудольным графом.
Решение:
1. Определение двудольного графа: граф, в котором можно разбить множество вершин на два непересекающихся подмножества, так что ни одна пара вершин из одного подмножества не соединена ребром.
2. Рассмотрим произвольное дерево. Выберем любую вершину как корень (например, V1). Это вершина уровня 0.
3. Вершины, непосредственно соединенные с V1, будут на уровне 1. Обозначим их V2, V3, ..., Vk. Эти вершины будут представлять первое подмножество.
4. Вершины, соединенные с V2, V3, ..., Vk, но не соединенные с V1, будут на уровне 2. Обозначим их V(k+1), V(k+2), ..., V(m). Эти вершины будут представлять второе подмножество.
5. Процесс продолжается: каждая следующая степень соседей образует уровни, которые чередуются между двумя подмножествами. Таким образом, четные уровни будут представлять одно подмножество, а нечетные - другое.
6. Поскольку дерево не содержит циклов, при переходе между уровнями не будет ребер, соединяющих вершины из одного и того же подмножества.
7. Таким образом, все вершины на четных уровнях образуют одно подмножество, а все вершины на нечетных уровнях - другое подмножество.
Ответ:
Любое дерево является двудольным графом, так как его вершины можно разбить на два подмножества, не имея соединений между вершинами одного подмножества.