Дано:
Дерево - это связный граф без циклов.
Найти:
Доказательство, что в дереве из любой вершины в любую другую есть единственный путь.
Решение:
1. Пусть T - дерево с n вершинами.
2. По определению, в дереве нет циклов, а значит, между любыми двумя вершинами существует путь.
3. Предположим, что существует два разных пути между вершинами A и B. Обозначим их как P1 и P2.
4. Пусть P1 = A, v1, v2, ..., B и P2 = A, u1, u2, ..., B, где vi и ui - промежуточные вершины.
5. Так как P1 и P2 начинаются в A и заканчиваются в B, они должны пересекаться в какой-то вершине, скажем, в вершине V, которая находится на обоих путях.
6. Если P1 и P2 имеют разную длину, то один из них должен включать большее количество рёбер, и в этом случае можно будет продолжить путь, создавая цикл, что противоречит определению дерева.
7. Если P1 и P2 имеют одинаковую длину, то они совпадают на всем протяжении, что также ведет к противоречию.
8. Таким образом, два разных пути между A и B не могут существовать, следовательно, существует только один путь.
Ответ:
В дереве из любой вершины в любую другую действительно есть единственный путь.