В магазине продаются свечи трёх цветов. Сколько можно составить различных наборов из 10 свечей, так чтобы:
а)  в наборе были свечи всех трёх цветов;
б)  допускаются наборы, где все свечи одного цвета или двух цветов?
от

1 Ответ

дано:  
Три цвета свечей; количество свечей в наборе = 10.  

найти:  
а) количество различных наборов из 10 свечей, в которых есть свечи всех трех цветов;  
б) количество различных наборов из 10 свечей, допускающих свечи одного или двух цветов.  

решение:  
а) Для решения задачи используем метод включения-исключения. Пусть a, b и c – количество свечей каждого цвета.  
1. Сначала общее количество способов выбрать 10 свечей из 3 цветов без ограничений равно C(10 + 3 - 1, 3 - 1) = C(12, 2) = 66.  
2. Теперь вычтем наборы, где отсутствует хотя бы один цвет.  
   - Пусть отсутствует цвет A. Тогда a + b + c = 10, где b, c ≥ 0. Количество способов = C(10 + 2 - 1, 2 - 1) = C(11, 1) = 11.  
   - То же самое для цветов B и C. Всего: 3 * 11 = 33.  
3. Прибавляем наборы, где отсутствуют два цвета. Например, отсутствуют A и B, тогда c = 10, всего 1 способ.  
   - То же для комбинаций A и C, B и C. Всего: 3 * 1 = 3.  
4. Применяем формулу включения-исключения: 66 - 33 + 3 = 36.  

б) Для допуска наборов с 1 или 2 цветами:  
1. Наборы с 1 цветом: 3 способа (все свечи одного цвета).  
2. Наборы с 2 цветами: пусть выбираем цвета A и B. Тогда a + b = 10, количество способов = C(10 + 2 - 1, 2 - 1) = C(11, 1) = 11.  
   - Это для каждой пары цветов, всего 3 пары: AB, AC, BC.  
3. Итого: 3 + 3 * 11 = 3 + 33 = 36.  

ответ:  
а) 36;  
б) 36.
от