дано:
Три цвета свечей; количество свечей в наборе = 10.
найти:
а) количество различных наборов из 10 свечей, в которых есть свечи всех трех цветов;
б) количество различных наборов из 10 свечей, допускающих свечи одного или двух цветов.
решение:
а) Для решения задачи используем метод включения-исключения. Пусть a, b и c – количество свечей каждого цвета.
1. Сначала общее количество способов выбрать 10 свечей из 3 цветов без ограничений равно C(10 + 3 - 1, 3 - 1) = C(12, 2) = 66.
2. Теперь вычтем наборы, где отсутствует хотя бы один цвет.
- Пусть отсутствует цвет A. Тогда a + b + c = 10, где b, c ≥ 0. Количество способов = C(10 + 2 - 1, 2 - 1) = C(11, 1) = 11.
- То же самое для цветов B и C. Всего: 3 * 11 = 33.
3. Прибавляем наборы, где отсутствуют два цвета. Например, отсутствуют A и B, тогда c = 10, всего 1 способ.
- То же для комбинаций A и C, B и C. Всего: 3 * 1 = 3.
4. Применяем формулу включения-исключения: 66 - 33 + 3 = 36.
б) Для допуска наборов с 1 или 2 цветами:
1. Наборы с 1 цветом: 3 способа (все свечи одного цвета).
2. Наборы с 2 цветами: пусть выбираем цвета A и B. Тогда a + b = 10, количество способов = C(10 + 2 - 1, 2 - 1) = C(11, 1) = 11.
- Это для каждой пары цветов, всего 3 пары: AB, AC, BC.
3. Итого: 3 + 3 * 11 = 3 + 33 = 36.
ответ:
а) 36;
б) 36.