дано:
объем правильной четырехугольной пирамиды SABCD V = 96.
Точка E - середина ребра SD.
найти:
объем треугольной пирамиды EACD.
решение:
Объем правильной четырехугольной пирамиды можно выразить через объем пирамиды, используя базу и высоту. Если точка E является серединой ребра SD, то высота от точки E до плоскости ABCD будет равна половине высоты оригинальной пирамиды SABCD.
Обозначим высоту пирамиды SABCD как h. Объем пирамиды определяется по формуле:
V = (1/3) * S * h,
где S - площадь основания. Мы можем найти высоту h из этой формулы:
h = (3V) / S.
Теперь объем пирамиды EACD будет равен:
V_EACD = (1/3) * S_EACD * h_E,
где S_EACD - площадь основания треугольника ACD, а h_E - высота от точки E до плоскости ACD.
Поскольку точка E - это середина ребра SD, высота h_E будет равна половине высоты h:
h_E = h / 2.
Площадь треугольника ACD равна половине площади квадрата ABCD, так как треугольник ACD занимает половину этой площади. Площадь квадрата может быть выражена, если мы знаем его сторону a:
S = a².
Таким образом, S_EACD = (1/2) * S.
Теперь подставим все значения в формулу для объема EACD:
V_EACD = (1/3) * (1/2) * S * (h / 2).
Упрощаем уравнение:
V_EACD = (1/12) * S * h.
Теперь, зная, что V = (1/3) * S * h, мы можем выразить S * h следующим образом:
S * h = 3V.
Подставим значение V:
S * h = 3 * 96 = 288.
Теперь подставим это значение в формулу для V_EACD:
V_EACD = (1/12) * 288.
Вычислим:
V_EACD = 24.
ответ:
Объем треугольной пирамиды EACD равен 24.