Дано: несколько дуг окружности покрашены в красный цвет. Сумма длин окрашенных дуг меньше половины длины окружности.
Найти: существует ли диаметр, оба конца которого не окрашены.
Решение:
1. Обозначим длину окружности через C. Длина окрашенных дуг меньше C/2.
2. Рассмотрим диаметр окружности. Он делит окружность на две равные половины длиной C/2.
3. Пусть A и B - два конца диаметра. Площадь окружности между точками A и B в обеих полусферах имеет длину C/2.
4. Если сумма длин окрашенных дуг меньше C/2, то в каждой из этих половин окружности не может быть окрашено более чем C/2.
5. Таким образом, одна из половин окружности (или обе) содержит меньше C/2 окрашенных дуг. Это означает, что в этой половине всегда можно найти диаметр, оба конца которого не окрашены.
Ответ: Существует диаметр, оба конца которого не окрашены.