Дано: на планете в звёздной системе тау Кита суша занимает более половины площади планеты. Найти: может ли таукитяне прорыть прямой туннель, проходящий через центр планеты и соединяющий сушу с сушей.
Решение:
1. Обозначим планету как сферу радиуса R. Площадь всей поверхности планеты равна 4πR^2.
2. Площадь суши на планете больше половины площади всей поверхности. То есть площадь суши больше 2πR^2.
3. Пусть суша на планете распределена по её поверхности. Если провести прямой туннель через центр планеты, то этот туннель будет пересекать планету по диаметру, соединяя две точки на поверхности.
4. Теперь рассмотрим любую прямую, проходящую через центр планеты и соединяющую две точки на поверхности. Эту прямую можно представить как хордальную линию в сфере.
5. Так как площадь суши больше половины площади планеты, существует достаточно большие участки суши, находящиеся на противоположных концах диаметра.
6. Следовательно, на любом диаметре планеты обязательно можно найти две точки на поверхности, которые находятся на суше, так как суммарная площадь суши больше половины площади планеты.
7. Таким образом, можно провести прямой туннель через центр планеты, который будет соединять две точки суши.
Ответ: Да, таукитяне могут прорыть прямой туннель, проходящий через центр планеты и соединяющий сушу с сушей.