Дано: Внутри выпуклого пятиугольника расположены две точки.
Найти: Докажите, что можно выбрать четырёхугольник с вершинами в вершинах пятиугольника так, что в него попадут обе выбранные точки.
Решение:
1. Обозначим пятиугольник как ABCDE.
2. Выберем любые две точки внутри пятиугольника, обозначим их P и Q.
3. Рассмотрим всевозможные четырёхугольники, которые можно образовать из вершин пятиугольника. Из пяти вершин можно выбрать 4 вершины для четырёхугольника следующим образом: C(5, 4) = 5.
4. Эти четырёхугольники будут следующими: ABCD, ABCE, ABDE, ACDE, BCDE.
5. Поскольку пятиугольник выпуклый, каждая выбранная точка P и Q будет находиться в одной из полуплоскостей, ограниченных любыми четырьмя вершинами пятиугольника.
6. Если в одной из этих полуплоскостей окажется обе точки P и Q, то они будут находиться внутри соответствующего четырёхугольника, ограниченного этими четырьмя вершинами.
7. Мы можем использовать принцип Дирихле: так как у нас есть 5 различных четырёхугольников и 2 точки, по принципу, хотя бы один из четырёхугольников будет содержать обе точки P и Q.
Ответ:
Можно выбрать четырёхугольник с вершинами в вершинах пятиугольника так, что в него попадут обе выбранные точки.