Дано: Куб с ребром 13 м, в котором выбрано 2013 точек. Найти: Можно ли поместить в этот куб куб с ребром 1 м так, чтобы внутри него не было ни одной выбранной точки?
Решение:
1. Найдем объем куба с ребром 13 м: 13^3 = 2197 м^3.
2. Найдем объем куба с ребром 1 м: 1^3 = 1 м^3.
3. Если в кубе 13 м выбрано 2013 точек, каждая из которых занимает объём, у нас есть 2013 точек в объёме 2197 м^3.
4. Средняя плотность точек в кубе 13 м равна 2013 / 2197 ≈ 0.916 точек на м^3.
5. Куб с ребром 1 м должен содержать менее 1 точки, чтобы не было точек внутри. Средняя плотность точек выше 1 точки на м^3. Таким образом, вероятность того, что в произвольном кубе 1 м^3 будет больше одной точки, велика.
6. Вследствие этого, нельзя гарантировать, что можно поместить куб 1 м^3 в куб 13 м^3 без наличия точек внутри, если точки распределены случайным образом.
Ответ: Нельзя гарантировать, что в кубе с ребром 13 м можно поместить куб с ребром 1 м, чтобы внутри него не было ни одной выбранной точки.