Дано: на плоскости 5 точек с целыми координатами. Необходимо доказать, что середина одного из отрезков, соединяющих эти точки, также имеет целые координаты.
Решение:
1. Пусть даны 5 точек A1(x1, y1), A2(x2, y2), A3(x3, y3), A4(x4, y4), A5(x5, y5) с целыми координатами.
2. Рассмотрим отрезок, соединяющий точки Ai и Aj. Координаты середины этого отрезка будут равны:
((xi + xj)/2, (yi + yj)/2).
3. Координаты середины отрезка будут целыми числами, если (xi + xj) и (yi + yj) оба чётные числа.
4. Для доказательства используем метод парадокса Дирихле. Важен факт, что если среди 5 точек на плоскости каждая точка имеет целые координаты, то существуют повторяющиеся остатки при делении на 2 координат каждой точки.
5. Рассмотрим координаты точек по модулю 2. У каждой координаты может быть только два возможных остатка: 0 или 1.
6. Таким образом, у нас 5 точек, а каждая координата (x и y) может принимать только два значения по модулю 2. Следовательно, по принципу Дирихле, по крайней мере две из пяти точек будут иметь одинаковые остатки по модулю 2 по обеим координатам.
7. Пусть точки A и B имеют одинаковые остатки по модулю 2. Это означает, что их координаты по модулю 2 будут одинаковыми.
8. Середина отрезка, соединяющего такие точки, будет иметь координаты ((xA + xB)/2, (yA + yB)/2), где xA и xB одинаковы по модулю 2, что делает xA + xB чётным, аналогично для yA и yB.
9. Следовательно, (xA + xB)/2 и (yA + yB)/2 будут целыми числами.
Ответ: Следовательно, обязательно найдётся отрезок между этими 5 точками, середина которого имеет целые координаты.