Дано: Квадрат размером 10 см x 10 см разделен на 100 квадратов со стороной 1 см. В каждом квадрате записано одно из чисел 1, 2 или 3.
Найти: Возможно ли, чтобы суммы чисел в каждой строке, в каждом столбце и на двух диагоналях этой таблицы были все различными?
Решение:
1. В таблице 10 x 10 имеется 10 строк, 10 столбцов и 2 диагонали. Итого 22 суммы, которые нужно проверить на различие.
2. Рассчитаем максимальные и минимальные возможные суммы для строк и столбцов.
- Минимальная сумма строки или столбца: если в каждом квадрате стоит 1, то сумма = 10 * 1 = 10.
- Максимальная сумма строки или столбца: если в каждом квадрате стоит 3, то сумма = 10 * 3 = 30.
Таким образом, возможные суммы для строк и столбцов варьируются от 10 до 30, всего 21 возможное значение.
3. Проверим диагонали:
- На главной диагонали и на побочной диагонали (по 10 элементов в каждой) тоже возможные минимальные суммы = 10 и максимальные суммы = 30. То есть суммы для диагоналей также могут варьироваться от 10 до 30.
4. Всего 22 суммы (10 строк + 10 столбцов + 2 диагонали). Максимальное количество уникальных сумм, которые можно получить, равно 21 (поскольку суммы могут варьироваться от 10 до 30).
Однако, у нас 22 значения, и если все они должны быть различными, то нам нужно 22 уникальных значения. Но поскольку максимальное число уникальных возможных значений сумм — 21, это означает, что обязательно будут повторяющиеся суммы.
Ответ: Не может быть, чтобы все подсчитанные суммы (в строках, столбцах и диагоналях) были различными.