Дано: Цифры от 1 до 9.
Найти: Доказать, что произведение чисел в одной из трех групп не меньше 72.
Решение:
1. Рассмотрим произведение всех чисел от 1 до 9:
P = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9.
2. Вычислим P:
P = 9! = 362880.
3. Поскольку мы разбиваем 9 чисел на 3 группы, произведение чисел в каждой группе будет равно P^(1/3) в среднем, но мы должны оценить, что хотя бы одно произведение в группе не может быть слишком малым.
4. Чтобы показать, что хотя бы одно произведение не меньше 72, рассмотрим распределение чисел между группами.
5. Если в одной из групп будет 1 число, то произведение будет равно этому числу.
6. Если в одной из групп будет 2 числа, то максимальное произведение будет равно 8 * 9 = 72. Это возможно, но не менее.
7. Если в одной из групп будет 3 числа, то максимальное произведение для минимальных чисел в каждой группе:
- Пример: 1, 2, 3 → 1 * 2 * 3 = 6,
- Пример: 4, 5, 6 → 4 * 5 * 6 = 120.
8. Если в группе 3 числа, чтобы получить произведение менее 72, нам нужно взять минимальные числа. Проверим разные комбинации:
- 1, 2, 3 → 6,
- 1, 2, 4 → 8,
- 1, 3, 4 → 12,
- 2, 3, 4 → 24,
- 2, 3, 5 → 30,
- 3, 4, 5 → 60.
9. Все комбинации с тремя числами не дают произведение ниже 72, если брать более высокие числа.
10. Обобщая, если в одной из групп будет 3 числа, произведение не может быть меньше 72, учитывая, что все группы должны содержать разные числа от 1 до 9.
Ответ: Да, произведение чисел в одной из групп не меньше 72.