Question

На 99 карточках пишутся числа 1, 2, . . . , 99. Затем карточки тасуются и раскладываются чистыми сторонами вверх. На чистых сторонах карточек снова пишутся числа 1, 2, . . . , 99. Для каждой карточки числа, стоящие на ней, складываются, и 99 полученных сумм перемножаются. Докажите, что в результате получится чётное число.

Answer 1

Дано: 99 карточек с числами от 1 до 99. На чистых сторонах карточек снова пишутся числа от 1 до 99. Для каждой карточки складываются числа на обеих сторонах, и 99 полученных сумм перемножаются.

Найти: Доказать, что в результате получится чётное число.

Решение:

1. Для каждой карточки i (где i = 1, 2, ..., 99) на одной стороне написано число i, а на другой стороне также написано число i.

2. Сумма чисел на карточке i будет:

   S_i = i + i = 2i.

3. Обратите внимание, что 2i — это чётное число для любого натурального i.

4. У нас 99 карточек, и для каждой карточки i мы получаем чётное число S_i.

5. Перемножая все 99 сумм, мы получаем:

   P = S_1 * S_2 * ... * S_99 = (2 * 1) * (2 * 2) * ... * (2 * 99).

6. Мы можем вынести 2 из каждого множителя:

   P = 2^99 * (1 * 2 * ... * 99).

7. Поскольку 2^99 является чётным числом и произведение 1 * 2 * ... * 99 (факториал 99) тоже является целым числом, произведение P будет чётным.

Ответ: В результате получится чётное число.