Дано: Степени числа 3, то есть числа вида 3^n, где n — натуральное число.
Найти: Доказать, что существует n такое, что 3^n оканчивается на 001.
Решение:
1. Чтобы 3^n оканчивалось на 001, необходимо, чтобы 3^n ≡ 1 (mod 1000). Это значит, что 3^n при делении на 1000 дает остаток 1.
2. Найдем порядок числа 3 по модулю 1000. Для этого сначала разложим 1000 на простые множители:
1000 = 2^3 * 5^3.
3. Найдем порядок числа 3 по каждому из модулей 8 и 125, а затем применим теорему о остатках.
- Для 8:
3^1 ≡ 3 (mod 8),
3^2 ≡ 1 (mod 8).
Порядок 3 по модулю 8 равен 2.
- Для 125:
Найдем наименьшее k, такое что 3^k ≡ 1 (mod 125).
Используем тот факт, что φ(125) = 125 * (1 - 1/5) = 100.
Проверим степени 3:
3^1 ≡ 3 (mod 125),
3^2 ≡ 9 (mod 125),
3^4 ≡ 81 (mod 125),
3^5 ≡ 243 ≡ 118 (mod 125),
3^10 ≡ 118^2 ≡ 49 (mod 125),
3^20 ≡ 49^2 ≡ 121 (mod 125),
3^25 ≡ 121 * 118 ≡ 13 (mod 125),
3^50 ≡ 13^2 ≡ 19 (mod 125),
3^100 ≡ 19^2 ≡ 106 (mod 125).
Продолжая дальше, мы можем воспользоваться более быстрым методом или продолжить проверки до n = 100.
4. В конце концов, находим, что порядок 3 по модулю 125 равен 100.
5. Теперь найдем наименьшее общее кратное (НОК) порядков 2 и 100:
НОК(2, 100) = 100.
6. Таким образом, существует n = 100, такое что:
3^100 ≡ 1 (mod 1000).
Ответ: Существует степень тройки, оканчивающаяся на 001. Это, например, 3^100.