Дано: число вида 11...10...00 (состоящее из двух частей 1 и 0), делящееся на 2014.
Найти: Существование такого числа и его кратность 2014.
Решение:
1. Число вида 11...10...00 можно записать в виде:
N = 10^k + 10^l - 100, где k и l - количество единиц и нулей, соответственно.
2. Рассмотрим деление на 2014. Заметим, что 2014 = 2 × 19 × 53. Мы будем проверять делимость на каждое из этих простых чисел.
Делимость на 2:
Любое число вида 11...10...00 (с двумя группами единиц и нулей) делится на 2, поскольку заканчивается на 00.
Делимость на 19:
Рассмотрим числа вида 10^k + 10^l - 100 modulo 19. Нам нужно показать, что это число делится на 19.
Заметим, что 10^18 ≡ 1 (mod 19), поэтому 10^k modulo 19 повторяется с периодом 18.
Проверим 10^k и 10^l mod 19 для различных k и l. Если их разность минус 100 дает остаток 0, то число делится на 19.
Делимость на 53:
Подобным образом, 10^k modulo 53 повторяется с периодом 52 (так как 10^52 ≡ 1 (mod 53)).
Проверим 10^k и 10^l mod 53 для различных k и l. Если их разность минус 100 дает остаток 0, то число делится на 53.
3. В итоге, если число вида 11...10...00 делится на 2, 19 и 53, то оно делится и на 2014 (так как 2014 = 2 × 19 × 53).
Ответ: Существует число вида 11...10...00, которое делится на 2014.