Дано:
- 32 человека, сидящих в 4 ряда по 8 человек.
- Каждый заявил: «Среди моих соседей есть представители обеих партий».
Найти:
- Наименьшее количество лжецов.
Решение:
1. Рассмотрим человека, сидящего в середине ряда (например, на позиции (i, j) в ряду i и колонне j). У него 4 соседа: слева, справа, спереди и сзади (если они есть). Он может быть лжецом, если среди его соседей все представители одной партии. Чтобы удовлетворить заявлению, у каждого должен быть сосед из другой партии.
2. Проведем расчет на основе предположения о том, что каждый лжец имеет соседей только одной партии. Проверим минимальное количество лжецов, при котором это возможно.
3. Если минимальное количество лжецов в ряду — 1, то они будут соседями только с представителями одной партии. Проверим, можно ли минимизировать это количество.
4. Мы можем разместить по 1 лжецу в каждом ряду, поскольку если лжецов меньше, они будут иметь по крайней мере одного соседа из другой партии. Если разместить лжецов, например, в углах (4 угла, по одному в каждом ряду), это гарантирует, что хотя бы один сосед у каждого лжеца из другой партии.
5. Поскольку мы можем разместить лжецов в углах, это гарантирует соблюдение условий задачи. Учитывая количество рядов и колонн, минимальное количество лжецов, при котором все требования удовлетворяются, составляет 8.
Ответ:
Наименьшее количество лжецов, которое могло участвовать в конференции, равно 8.