Дано:
Имеется набор из 60 гирь, в котором есть как минимум одна гиря массой 1 кг и как минимум одна гиря массой 2 кг. Нужно определить, какие из таких наборов являются "крепкими", то есть невозможно разбить их на три группы по 20 гирь так, чтобы массы всех трех групп были разными.
Найти:
Все крепкие наборы гирь.
Решение:
1. Обозначения и исходные данные:
Пусть у нас есть набор гирь с массами, равными 1 кг и 2 кг. Обозначим количество гирь массой 1 кг как x, а количество гирь массой 2 кг как y. Тогда:
x + y = 60 (всего 60 гирь)
Количество гирь массой 1 кг и гирь массой 2 кг будут такие, что x ≥ 1 и y ≥ 1.
2. Массы групп:
Суммарная масса всех гирь равна M = x * 1 + y * 2. Если разделить гирь на три группы по 20 гирь, то суммарная масса одной группы равна M/3. Поскольку гирь всего 60, M делится на 3. То есть M должно быть кратно 3.
3. Вычисление суммарной массы:
Суммарная масса M = x + 2y. Для того чтобы M делилось на 3, x + 2y должно быть кратно 3. Мы должны найти такие x и y, что x + 2y ≡ 0 (mod 3).
4. Анализ возможных комбинаций:
Проверим, какие значения x и y удовлетворяют этому условию. Мы знаем, что x + y = 60, и мы также знаем, что x и y должны быть неотрицательными целыми числами.
Рассмотрим несколько возможных комбинаций:
- Если x = 1, то y = 59 и x + 2y = 1 + 2*59 = 119 (не кратно 3, не подходит).
- Если x = 2, то y = 58 и x + 2y = 2 + 2*58 = 118 (не кратно 3, не подходит).
- Если x = 3, то y = 57 и x + 2y = 3 + 2*57 = 117 (кратно 3, подходит).
Обратите внимание, что для значений x = 3 и y = 57, мы имеем x + 2y = 117, что кратно 3. Проверяем также другие возможные комбинации:
- Если x = 4, то y = 56 и x + 2y = 4 + 2*56 = 116 (не кратно 3).
- Если x = 5, то y = 55 и x + 2y = 5 + 2*55 = 115 (не кратно 3).
- Если x = 6, то y = 54 и x + 2y = 6 + 2*54 = 114 (кратно 3, подходит).
Подобные проверки показывают, что для любого x и y, удовлетворяющего условию x + y = 60 и x + 2y кратно 3, набор будет "крепким".
5. Заключение:
Таким образом, крепкие наборы гирь — это такие наборы, где количество гирь массой 1 кг и 2 кг удовлетворяет условию x + 2y кратно 3. Подходящие наборы включают, например, (3 гирь массой 1 кг и 57 гирь массой 2 кг), (6 гирь массой 1 кг и 54 гирь массой 2 кг), и так далее.
Ответ:
Все крепкие наборы гирь, в которых есть хотя бы одна гиря массой 1 кг и хотя бы одна гиря массой 2 кг, можно определить по условию, что количество гирь массой 1 кг и количество гирь массой 2 кг должны удовлетворять x + 2y кратно 3.