дано: 22 карточки с числами от 1 до 22, из которых составили 11 дробей.
найти: наибольшее количество дробей с целыми значениями.
решение:
1. Обозначим числа на карточках как a1, a2, ..., a22.
2. Для дроби (ai / aj) быть целой, числитель ai должен делиться нацело на знаменатель aj.
3. Рассмотрим, как можно максимизировать количество целых дробей. Для этого числа на карточках должны быть размещены так, чтобы у как можно большего количества дробей числитель делился на знаменатель.
4. Чтобы определить максимальное количество дробей с целыми значениями, рассмотрим, как можно использовать все числа от 1 до 22. Удобно использовать числа, которые имеют много делителей.
5. Попробуем представить 11 дробей в виде k / m, где k = m * q для целого q. Максимизация будет достигнута, если мы используем числа, которые имеют много делителей, и если они равномерно распределены.
6. Пусть, например, в качестве дробей мы используем (k, m) такие, что m - делитель k. Выбирая числа, мы можем составить дроби, где максимальное количество целых дробей обеспечивается тем, что одно и то же число часто встречается в числителе.
7. Если числа 1, 2, 3, ..., 11 будут в числителях, и каждая из них будет разделена на делители, то можно получить 11 целых дробей. Например, дроби могут быть: (2/1), (4/2), (6/3), (8/4), (10/5), (12/6), (14/7), (16/8), (18/9), (20/10), (22/11).
ответ: Наибольшее количество дробей с целыми значениями равно 11.