Дано:
- Прямоугольник размером 5x7 клеток.
Найти:
- Наибольшее количество уголков, состоящих из трёх квадратов 1x1, которые можно разместить в прямоугольнике 5x7.
Решение:
1. Один трёхклеточный уголок можно разместить в прямоугольнике, если у него есть место для своих трех клеток, составляющих угол. Каждый уголок занимает 3 клетки.
2. Посчитаем, сколько трёхклеточных уголков можно разместить в прямоугольнике 5x7, не накладывая их друг на друга и используя все возможные ориентации уголков.
3. На каждой позиции уголка можно его развернуть по четырем возможным направлениям:
- Вертикально вправо и вниз.
- Вертикально влево и вниз.
- Вертикально вправо и вверх.
- Вертикально влево и вверх.
4. Посчитаем количество возможных позиций для одного уголка в прямоугольнике 5x7. Для вертикального направления уголка, допустим, верхняя левая клетка уголка находится в позиции (i, j). Тогда, чтобы разместить уголок, нужно, чтобы i ≤ 4 и j ≤ 6, чтобы три клетки не выходили за пределы прямоугольника.
5. Аналогично, для горизонтального направления уголка, допустим, верхняя левая клетка уголка находится в позиции (i, j). Тогда i ≤ 6 и j ≤ 4.
6. Найдём общее число возможных позиций для размещения уголков. Поскольку каждый уголок занимает 3 клетки, вычислим, сколько можно разместить уголков, не перекрывая друг друга.
- Для максимального числа уголков, можем использовать сетку 5x7, которая имеет 35 клеток. 35 / 3 = 11.66. Округляем до ближайшего целого числа, так как дробное количество уголков невозможно.
7. Оптимально заполнив прямоугольник, получаем максимальное число 11 уголков. Однако, может быть 12, если расположить уголки особым образом.
Ответ:
Наибольшее количество трёхклеточных уголков, которое можно разместить в прямоугольнике 5x7, равно 12.