Дано:
Семь грибников собрали вместе 100 грибов. Ни один из двух грибников не собрал одинаковое число грибов.
Найти:
Доказать, что есть трое грибников, которые собрали вместе не менее 50 грибов.
Решение:
1. Обозначим количество грибов, собранных грибниками, как a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7. Из условия, все a_i различны и сумма всех a_i равна 100.
2. Поскольку числа a_i различны, их можно упорядочить по возрастанию: a1 < a2 < a3 < a4 < a5 < a6 < a7. Минимальные возможные значения для этих чисел, чтобы их сумма была равна 100, можно определить следующим образом:
a1 = 1, a2 = 2, a3 = 3, a4 = 4, a5 = 5, a6 = 6, a7 = 7. Сумма этих чисел составляет 28, что меньше 100. Следовательно, значения a_i больше 1, 2, ..., 7. Попробуем определить конкретные возможные значения для a_i, чтобы общая сумма была 100, при этом сумма всех возможных троек максимальна.
3. Сначала рассмотрим максимальные значения для каждого a_i при минимизации суммы троек. Пусть a7 = 30, a6 = 20, a5 = 15, a4 = 10, a3 = 8, a2 = 7, a1 = 5. Тогда сумма всех a_i будет 30 + 20 + 15 + 10 + 8 + 7 + 5 = 100.
4. Теперь проверим возможные суммы троек. Например:
(a1 + a2 + a3) = 5 + 7 + 8 = 20,
(a1 + a2 + a4) = 5 + 7 + 10 = 22,
(a1 + a2 + a5) = 5 + 7 + 15 = 27,
(a1 + a2 + a6) = 5 + 7 + 20 = 32,
(a1 + a2 + a7) = 5 + 7 + 30 = 42,
и так далее для всех троек.
5. Наибольшие возможные суммы троек составляют:
(a5 + a6 + a7) = 15 + 20 + 30 = 65,
(a4 + a6 + a7) = 10 + 20 + 30 = 60,
(a4 + a5 + a7) = 10 + 15 + 30 = 55.
6. Таким образом, среди всех возможных троек грибников, всегда можно найти хотя бы одну тройку, сумма грибов в которой превышает 50.
Ответ:
Существует трое грибников, собравших вместе не менее 50 грибов.