Дано:
- Таблица 10x10, в каждой ячейке записано число.
- В каждой строке подчеркнуто наибольшее число (или одно из наибольших, если их несколько).
- В каждом столбце подчеркнуто наименьшее число (или одно из наименьших, если их несколько).
- Каждое подчёркнутое число подчеркнуто ровно дважды.
Найти:
- Доказать, что все числа в таблице равны.
Решение:
1. Обозначим числа в таблице как a(i, j), где i - номер строки, j - номер столбца.
2. В каждой строке подчеркнуто наибольшее число. Обозначим его как M(i) - максимальное число в строке i.
3. В каждом столбце подчеркнуто наименьшее число. Обозначим его как m(j) - минимальное число в столбце j.
4. Поскольку каждое подчёркнутое число подчеркнуто ровно дважды, это означает, что в каждой строке максимальное число совпадает с минимальным числом в каком-то столбце, и наоборот.
5. Рассмотрим число a(i, j). Пусть это число подчеркнуто. Тогда оно подчеркнуто в строке i, что означает, что a(i, j) = M(i). Оно также подчеркнуто в столбце j, что означает, что a(i, j) = m(j).
6. Следовательно, для любого i и j выполняется равенство a(i, j) = M(i) = m(j). То есть максимальное число в строке i и минимальное число в столбце j совпадают и равно a(i, j).
7. Это означает, что все числа в строке i равны, и все числа в столбце j также равны.
8. Таким образом, все числа в таблице должны быть равны, поскольку в противном случае невозможно будет обеспечить, чтобы каждое число было подчеркнуто ровно дважды.
Ответ:
Все числа, записанные в таблице, равны между собой.