Дано:
В турнире по волейболу 20 процентов всех команд не выиграли ни одной игры.
Найти:
Общее количество команд в турнире.
Решение:
1. Обозначим общее количество команд в турнире как N.
2. По условию, 20 процентов команд не выиграли ни одной игры. Это можно записать как 0.20 * N.
3. Так как команды, не выигравшие ни одной игры, не могли бы выиграть ни одной игры, то их количество должно быть целым числом.
4. Следовательно, N должно быть кратно 5, так как 20 процентов от N должно быть целым числом.
5. Поскольку каждая команда играет с каждой другой командой один раз, общее количество матчей в турнире можно найти по формуле для числа комбинаций из двух команд из N:
Количество матчей = N * (N - 1) / 2.
6. Команды, не выигравшие ни одной игры, не могут сыграть ни одного выигрышного матча, следовательно, они проигрывают все свои матчи. Все остальные команды должны выиграть хотя бы один матч, чтобы заполнить оставшиеся матчевые результаты.
7. Если у нас есть 20 процентов команд, которые не выигрывают ни одного матча, то остальные 80 процентов команд должны сыграть так, чтобы все проигрыши были распределены среди этих 80 процентов команд. То есть, команды, не выигравшие ни одного матча, должны проиграть все свои матчи командам, которые выиграли хотя бы один матч.
8. Пусть число команд, не выигравших ни одной игры, равно 0.20 * N. Так как каждая из этих команд проигрывает все свои матчи, у нас должно быть, чтобы оставшиеся команды (0.80 * N) выиграли все свои матчи. Следовательно, 0.80 * N должно быть достаточно для выигрышных матчей.
9. Проверим возможные значения N. Для минимального значения, которое удовлетворяет условию кратности и проверки распределения выигрышей:
Попробуем N = 5:
20% от 5 = 1. Это число команд, которые не выиграли ни одного матча. Остальные 4 команды должны сыграть и выиграть все свои матчи.
Проверим:
- Команда 1 проигрывает 4 матча (по 1 матчу каждой из оставшихся 4 команд).
- Команды 2, 3, 4 и 5 играют 4 матча между собой (каждая выиграет 3 матча и проиграет 1, остальные будут не выигранные).
Это распределение возможно и соответствует условиям задачи.
Итак, общее количество команд в турнире равно 5.
Ответ: 5 команд.