Задача 1:
Дано: цепочка из 7 звеньев. Путешественник должен расплачиваться за каждый день пребывания в гостинице одним звеном цепочки. Нужно определить, какое звено цепочки нужно распилить, чтобы прожить 7 дней, оплачивая каждый день.
Найти: какое звено цепочки нужно распилить.
Решение:
Для решения этой задачи нужно понять, как можно комбинировать звенья цепочки для оплаты от 1 до 7 дней. Это можно сделать, если использовать стратегию разрезания цепочки так, чтобы сумма звеньев на каждый день была уникальной.
1. Обозначим звенья как A, B, C, D, E, F и G.
2. Нужно разрезать цепочку так, чтобы можно было получить все числа от 1 до 7. Для этого оптимально разрезать цепочку следующим образом:
- Разрезать цепочку на звенья в следующих комбинациях: 1 звено, 2 звена, 4 звена.
Это означает, что:
- Цепочка разбивается на три части: 1 звено, 2 звена и 4 звена.
- Можно комбинировать эти части для получения всех чисел от 1 до 7.
Например:
- 1 день: 1 звено.
- 2 дня: 2 звена.
- 3 дня: 1 + 2 = 3 звена.
- 4 дня: 4 звена.
- 5 дней: 1 + 4 = 5 звена.
- 6 дней: 2 + 4 = 6 звена.
- 7 дней: 1 + 2 + 4 = 7 звена.
Таким образом, нужно разрезать цепочку на 3 части: 1, 2 и 4 звена.
Ответ: чтобы прожить 7 дней и расплачиваться ежедневно, нужно распилить цепочку на 3 части: 1 звено, 2 звена и 4 звена.
Задача 2:
Дано: цепочка из 100 звеньев. Путешественник должен расплачиваться за каждый из 100 дней. Нужно определить, сколько звеньев нужно распилить, чтобы иметь возможность расплачиваться за каждый день.
Найти: сколько звеньев нужно распилить.
Решение:
Используем ту же стратегию разрезания цепочки, что и в предыдущей задаче. Суть задачи в том, чтобы распилить цепочку на минимальное количество частей, чтобы иметь возможность оплатить любую сумму от 1 до 100.
Для этого будем использовать двоичную систему счисления. Идея заключается в том, что если мы распилим цепочку на части, размеры которых являются степенями двойки (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64), то сможем покрыть все суммы от 1 до 100.
Следовательно, мы должны разрезать цепочку на 7 частей, поскольку 2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + 2^6 = 127, что больше 100, и позволяет нам покрыть все суммы от 1 до 100.
Таким образом, нужно распилить цепочку на 7 частей, каждая из которых равна степеням двойки (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64).
Ответ: чтобы прожить 100 дней и расплачиваться ежедневно, нужно распилить цепочку на 7 частей, где каждая часть — это степеней двойки.