Дано:
Окружность с центром O и радиусом R.
Точка M — точка вне окружности.
Касательные из точки M к окружности касаются ее в точках A и B.
Середина отрезка AB — точка N.
Найти:
Доказать, что длина касательной OL, проведенной из точки O к окружности, равна OМ.
Решение:
1. По свойству касательной, длины касательных от одной точки до окружности равны:
MA = MB.
2. Обозначим длину касательной как t. Тогда:
MA = MB = t.
3. Точка N — середина отрезка AB, значит:
AN = NB = t/2.
4. Рассмотрим треугольник OMA. Он является прямоугольным, где OA — радиус, а MA — касательная. По теореме Пифагора:
OM^2 = OA^2 + MA^2.
5. Подставим значения:
OM^2 = R^2 + t^2.
6. Теперь рассмотрим треугольник ONL, где N — середина отрезка AB, и L — точка касания.
По свойству касательной:
ON^2 = OL^2 + NL^2.
7. Поскольку NL = AN = t/2, то:
ON^2 = OL^2 + (t/2)^2.
8. Но поскольку N является серединой AB и по свойству касательных из точки O, длина OL также равна t.
9. Таким образом:
ON^2 = t^2 + (t/2)^2 = t^2 + t^2/4 = (5/4)t^2.
10. Уравняем OM и OL:
t = OM.
Ответ:
Длина касательной OL равна OМ.