Дано:
Гипотенуза прямоугольного треугольника делится на отрезки длинами p и q.
Найти:
Площадь треугольника S.
Решение:
1. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой c, длина которой равна p + q, радиус вписанной окружности r можно выразить через площадь S и полупериметр p:
r = S / p.
2. Полупериметр P треугольника:
P = (a + b + c) / 2 = (p + q + c) / 2.
3. С учетом того, что c = p + q, получаем:
P = (p + q + (p + q)) / 2 = (2p + 2q) / 2 = p + q.
4. Площадь S треугольника также можно выразить через радиус вписанной окружности:
S = r * P.
5. Подставим значения:
S = r * (p + q).
6. Площадь S треугольника через r выражается как:
S = (p * q) / 2.
7. Теперь у нас есть два выражения для площади:
r * (p + q) = (p * q) / 2.
8. Из этого уравнения выразим площадь S:
S = (p * q) / 2.
Ответ:
Площадь треугольника S = (p * q) / 2.